Operações com conjuntos com NumPy

Um conjunto é uma seleção de elementos com caracterizas semelhantes. Os conjuntos são usados para operações de união, interseção e diferença.
A biblioteca numpy fornece funções para fazermos as operações de união, interseção e diferença.

Criando conjuntos

Para criarmos um conjunto podemos utilizar a função unique. A função unique recebe uma lista e retorna um conjunto. Lembre-se que a matriz passada para a função unique deve ser de uma dimensão.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5])

conjunto = np.unique(array)

print(conjunto)

Nesse exemplo passamos uma matriz com elementos repetidos para a função unique e ela retorna um conjunto sem elementos repetidos.

Elementos exclusivos de cada conjunto

Para acharmos os elementos exclusivos de cada conjunto podemos utilizar a função union1d. A função union1d recebe dois conjuntos e retorna um conjunto com os elementos exclusivos de cada conjunto passados para a função.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
array2 = np.array([2, 6, 7, 8, 4])

uniao = np.union1d(array1, array2)

print(uniao)

Interseção

A interseção de dois conjuntos são os elementos presentes nos dois conjuntos. Para acharmos a interseção de dois conjuntos podemos utilizar a função intersect1d. A função intersect1d recebe duas matrizes e retorna uma matriz com a interseção das duas matrizes passadas para a função.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
array2 = np.array([2, 6, 7, 8, 4])

uniao = np.intersect1d(array1, array2)

print(uniao)

A função intersect1d pode receber o argumento assume_unique. O argumento assume_unique, se definido como True, torna a operação mais rápida. Quando estivermos lidando com conjunto sempre devemos definir o argumento assume_unique como True.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
array2 = np.array([2, 6, 7, 8, 4])

uniao = np.intersect1d(array1, array2, assume_unique=True)

print(uniao)

Nesse exemplo a diferença não é perceptível, mas quando estivermos lidando com conjuntos muito grandes de dados a diferença é muito grande.

Diferença

Para descobrirmos qual são os elementos do primeiro conjunto que não estão presentes no segundo conjunto, utilizamos a função setdiff1d. A função setdiff1d recebe duas matrizes e retorna uma matriz com os elementos que estão presentes apenas na primeira matriz.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
array2 = np.array([2, 6, 7, 8, 4])

uniao = np.setdiff1d(array1, array2, assume_unique=True)

print(uniao)

Diferença simétrica

Na diferença simétrica o resultado é uma matriz com os elementos exclusivos de cada matriz. Os elementos que existem nas duas matrizes são removidos. Para obter a diferença simétrica de dois conjuntos utilizamos a função setxor1d da biblioteca numpy.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
array2 = np.array([2, 6, 7, 8, 4])

uniao = np.setxor1d(array1, array2, assume_unique=True)

print(uniao)

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Funções hiperbólicas em NumPy

Para podemos trabalhar com as funções hiperbólicas a biblioteca numpy disponibiliza três funções: sinh, cosh e tanh. Essas funções recebem radianos como argumentos e retornam seno hiperbólico, cossenos hiperbólico e tangente hiperbólico, respectivamente.
Veja um exemplo com a função sinh:

Exemplo

import numpy as np

a = np.sinh(np.pi/2)

print(a)

Com esse exemplo descobrimos que o seno hiperbólico de pi sobre 2 é 2,30.
A função sinh também pode receber os radianos numa matriz e retornar uma matriz com os resultados.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([np.pi/2, np.pi/3, np.pi/4, np.pi/5])

print(np.sinh(array))

Seno, cosseno e tangente hiperbólica para ângulo

Para descobrir o radiano com o seno, cosseno e tangente hiperbólica, podemos utilizar as funções arcsinh, arccosh e arctanh, respectivamente. E logo depois utilizar o resultado dessas funções e descobrir o ângulo com a função rad2deg.

Exemplo

import numpy as np

a = np.rad2deg(np.arcsinh(1.0))

print(a)

A função rad2deg recebe um radiano e retorna um grau.

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Trigonometria com NumPy

A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos.
As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos. As funções relacionadas aos triângulos retângulos são os senos, cossenos e tangentes. Para trabalhar com senos, cossenos e tangentes a biblioteca numpy fornece as funções sin, cos e tan.
As funções sin, cos e tan recebem um valor radiano e fornecem os cenos, cossenos e tangentes, respectivamente.

Exemplo

import numpy as np

seno = np.sin(np.pi/2)

print(seno)

Nesse exemplo descobrimos que o seno de pi sobre dois é um.
A função sin também pode receber uma listas com os valores.

Exemplo

import numpy as np

seno = np.sin([np.pi/2, np.pi/3, np.pi/4, np.pi/5])

print(seno)

Nesse exemplo o retorna da função sin também será uma lista com os resultados dos senos de pi sobre 2, pi sobre 3, pi sobre 4 e pi sobre 5.
As funções cos e tan funcionam da mesma maneira que a sin. Se for passado um valor para a função ela só vai retornar um valor. Se for passado mais de uma valor a função vai retornar uma lista com os resultados.

Convertendo graus em radianos

A função matemática para converter graus em radianos é pi dividido por cento e oitenta vezes o grau desejado. Pi/180 * grau para a conversão.
As funções trigonométricas recebem radianos como parâmetros. Por isso a biblioteca numpy fornece funções para converter graus em radianos, e vice-versa.
Para converter graus em radianos a função usada é deg2rad. A função deg2rad pode receber um único valor ou uma lista com os graus para conversão.

Exemplo

import numpy as np

matriz = np.array([90, 180, 270, 360])

radianos = np.deg2rad(matriz)

print(radianos)

Radianos para graus

A função para transformar radianos em graus é a rad2deg. Assim como a função deg2rad, a função rad2deg pode receber um único valor ou receber uma lista com os radianos. Nesse caso o resultado da função rad2deg vai ser uma lista com os valores convertidos.

Exemplo

import numpy as np

matriz = np.array([np.pi/2, np.pi, 1.5*np.pi, 2*np.pi])

graus = np.rad2deg(matriz)

print(graus)

Seno, cosseno e tangente para radianos e ângulo

Se você precisar descobrir um radiano a partir de um seno, cosseno ou tangente a biblioteca numpy fornece as funções para isso. São elas: arcsin, arccos e arctan, respectivamente. E para converter de radianos para graus é só usar a função rad2deg.

Exemplo

import numpy as np

graus = np.rad2deg(np.arcsin(1.0))

print(graus)

As funções arcsin, arccos e arctan podem receber uma matriz como argumentos e retornar uma matriz com os resultados da conversão.

Exemplo

import numpy as np

graus = np.rad2deg(np.arcsin([1, -1, 0.1]))

print(graus)

Hipotenusa

Podemos utilizar o teorema de pitágoras com a biblioteca numpy e descobrir a hipotenusa de um triangulo retângulo. A função para isso é a hypot.

Exemplo

import numpy as np

base = 8
cateto = 5

hipotenusa = np.hypot(base, cateto)

print(hipotenusa)

Com esse exemplo descobrimos que a hipotenusa de um triangulo retângulo, com o valor da base sendo oito e o cateto sendo cinco, é 9,43.

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MMC e MDC com NumPy

Mínimo múltiplo comum

O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números é o menor numero natural que é múltiplo simultaneamente dos dois números. Se não existir tal número natural então o mmc é zero. Para encontrar os múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela sequência dos números naturais.
Para saber se um número é múltiplo de um outro, devemos dividir pelo outro. Por exemplo, 25 é múltiplo de 5, porque ele é divisível por 5.
A função para descobrir o mínimo múltiplo comum de dois números com a biblioteca numpy em python é a lcm.

Exemplo

import numpy as np

print(np.lcm(6, 4))

Para descobrir o mínimo múltiplo comum de uma matriz podemos utilizar a função reduce da biblioteca numpy. A função reduce recebe uma matriz e retorna o mínimo múltiplo comum de todos os números da matriz.

Exemplo

import numpy as np

print(np.lcm.reduce([6, 4, 9]))

Máximo divisor comum

O maior divisor comum é o maior número que pode dividir dois ou mais números com resto igual a zero. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18.
Para descobri o máximo divisor comum de dois números com a biblioteca numpy em python usamos a função gcd.

Exemplo

import numpy as np

print(np.gcd(9, 6))

Nesse exemplo, o resultado é três pois o três é o maior número que pode dividir seis e nove sem resto.
Para descobrir o maior divisor comum de uma matriz a função reduce é usada.

Exemplo

import numpy as np

print(np.gcd.reduce([138, 66, 402, 324]))

O resultado da função reduce é o número seis. Isso porque os números da matriz são todos múltiplos do número seis.

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Produto e diferença com NumPy

Produto

Para descobrir qual é o produto dos elementos de uma matriz podemos utilizar a função prod da biblioteca numpy.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 2, 3])

matriz = np.prod(array)

print(matriz)

Com esse exemplo o resultado será seis, porque 1*2*3 é igual a 6.
A função prod também pode receber uma lista com matrizes.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3])
array2 = np.array([4, 5, 6])

matriz = np.prod([array1, array2])

print(matriz)

Nesse exemplo o resultado é 720, pois 1*2*3*4*5*6 é igual 720. Todos os elementos das duas matrizes são multiplicados, como se fossem apenas uma matriz. Também é possível multiplicar apenas os elementos de cada matriz individualmente com o parâmetro axis=1.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3])
array2 = np.array([4, 5, 6])

matriz = np.prod([array1, array2], axis=1)

print(matriz)

Nesse exemplo, o retorno é uma lista com o resultado da multiplicação das duas matrizes individualmente. O primeiro valor da lista de retorno é o resultado da multiplicação dos elementos da primeira matriz e o segundo valor é o resultado da multiplicação dos elementos da segunda matriz.

Produto acumulativo

Para trabalhar com produto acumulativo a biblioteca numpy disponibiliza a função cumprod. A função cumprod vai receber uma matriz e retornar uma matriz com o mesmo numero de elementos da matriz que receber. Cada elemento dessa matriz é o produto acumulado dos elementos anteriores. Por exemplo, na lista [1, 2, 3, 4], o resultado seria uma matriz com os valores 1, 2, 6 e 24.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 2, 3, 4])

matriz = np.cumprod(array)

print(matriz)

Diferença

Na biblioteca numpy temos a função diff. A função diff retorna uma lista com o resultado da diferença entre um elemento e o seu antecessor, com exceção do primeiro elemento. Por exemplo, a diferença entre os elementos da lista [1, 2, 3, 4] é [1, 1, 1]. Isso porque 2-1=1, 3-2=1 e 4-3=1.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 2, 3, 4])

matriz = np.diff(array)

print(matriz)

Também podemos pegar o resultado da diferença e tirar a diferença. Por exemplo, no exemplo anterior o resultado da diferença foi [1, 1, 1]. E se quiséssemos tirar a diferença desse resultado? Simples. Precisaríamos apenas adicionar o parâmetro n=2 na função diff.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 2, 3, 4])

matriz = np.diff(array, n=2)

print(matriz)

O resultado desse exemplo é [0, 0] pois 1-1=0, 1-1=0.

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Somatório com NumPy

Qual é a diferença entre o somatório e a adição? Com o somatório um número infinitos de elementos podem ser somados, diferente da adição que soma apenas dois elementos.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3])
array2 = np.array([4, 5, 6])

matriz = np.add(array1, array2)

print(matriz)

Nesse exemplo temos a soma dos números na vertical, como se fosse uma tabela. Por isso o resultado é uma matriz com os elementos 5, 7 e 9. No somatório todos os elementos são somados.
Para realizar uma somatória de todos os elementos de uma matriz a biblioteca numpy disponibiliza a função sum. A função sum soma todos os elementos da matriz passada como argumento e retorna o resultado da soma dos elementos de todas as matrizes.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3])
array2 = np.array([4, 5, 6])

matriz = np.sum([array1, array2])

print(matriz)

A função sum, por padrão, soma todos os elementos de uma matriz. Para mudar esse comportamento podemos passar o argumento axis=1. Assim cada matriz será somada individualmente. E a função sum vai retornar uma matriz com os resultados da soma dos elementos de cada matriz, individualmente.

Exemplo

import numpy as np

array1 = np.array([1, 2, 3])
array2 = np.array([4, 5, 6])

matriz = np.sum([array1, array2], axis=1)

print(matriz)

Soma acumulativa

Com a soma acumulativa a soma dos dois últimos elementos são somados com o elemento atual. Por exemplo, na matriz [1, 2, 3] o resultado seria 1, 3 e 6.
Para fazer uma somatória acumulativa a biblioteca numpy disponibiliza a função cumsum. A função cumsum recebe uma lista como argumento e retorna uma lista com a mesma quantidade de elementos da matriz de entrada.

Exemplo

import numpy as np

array = np.array([1, 2, 3])

matriz = np.cumsum(array)

print(matriz)

Cada elemento da matriz resultado é a soma dos dois elementos anteriores na matriz de entrada.

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Logaritmos com NumPy

Os logaritmos são usados para facilitar contas em que existem exponenciação. Os logaritmos são capazes de transformar produtos em soma, divisões em subtrações e potências em multiplicações.
John Napier foi o primeiro a estudar os logaritmos. Foi ele o responsável por descobrir que os logaritmos podiam ser usados para transformar produtos em soma, divisão em subtração e potenciação em multiplicação.
A descoberta de John Napier foi muito útil na época, e é até hoje. Imagine fazer multiplicações com números grandes sem uma calculadora. Com certeza não era fácil. Por isso a importância dos logaritmos. Com os logaritmos as multiplicações passavam a ser somas. Isso facilitava muita coisa.
Com o logaritmo, basicamente se responde uma pergunta: Qual é o expoente que o resultado será x usando a base 2 (ou outra base)? A biblioteca numpy fornece duas funções para trabalhar com logaritmos na base dois e na base dez, uma função pra cada base.

Exemplo

import numpy as np

log = np.log2(8)

print(log)

Nesse exemplo, obtemos a resposta para a pergunta: Qual é o expoente que o resultado será oito usando a base dois? A resposta é três porque dois elevado a três o resultado é oito.
Para descobrir qual é o expoente que o resultado será x com a base dez, podemos utilizar a função log10 da biblioteca numpy.

Exemplo

import numpy as np

log = np.log10(100)

print(log)

Nesse exemplo, obtemos a resposta para a pergunta: Qual é o expoente que o resultado será cem usando a base dez? A resposta é dois porque dez elevado a dois o resultado é cem.

E para trabalhar com outras bases?

Infelizmente a biblioteca numpy só fornece essas duas funções. Mais para nossa felicidade a biblioteca math fornece a função log. A função log pode trabalhar com qualquer base. Para usar a função log passamos dois argumentos: o resultado da exponenciação e a base.

Exemplo

from math import log

print(log(8, 2))

Nesse exemplo, obtemos a resposta para a pergunta: Qual é o expoente que o resultado será oito usando a base dois? A resposta é três porque dois elevado a três o resultado é oito.

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